Крок до нейтронних зірок 2. Радіометричне рівняння

Вважайте, що неполяризоване джерело з густиною потоку S спостерігається телескопом з еффективною площею A_e=\eta A, де A є геометричною площею телескопа, а \eta є ефективність телескопа. Оскільки кожна з поляризацій складає половину потоку, то густина потужності [W/Hz] на приймачі є P_s=(SA_e)/2

З іншої сторони, уявімо, що антена є простою резистивною нагрузкою за температури T. Хаотичний тепловий рух електронів викликає змінну напругу у цій схемі, що згідно Джонсону-Найквісту має густину потужності P_c=k_BT, де k_B -- константа Больцмана. Тепер дамо означення температурі антени T_A, як такій, при якій P_s=P_c, тоді

S=\frac{2k_BT_A}{A_e}=\frac{T_A}{G}

де G (gain) є підсиленням антени.

Отже, потік S_{source} можна замінити температурою T_{source}=GS_{source}. З іншої сторони є температура системи приймання T_{sys} (шум по суті):

T_{sys}=T_{rec}+T_{spill}+T_{atm}+T_{sky}

де T_{rec} є шумом приймача (приблизно 20 К для систем з охолодженням), T_{spill} є (spillover noise) шумом антени (10 К), T_{atm} виникає через випромінення атмосфери землі, а T_{sky} є фоновим випроміненням небес (CMB, синхротронне випромінювання в площині Галактики) і залежить від точки і частоти спостерігання (10-30К, в центрі Галактики 800К).

Ілюстрація для пояснення різних внесків шуму

Радіометричне рівняння

Логічно, що щоб сигнал був задетектований, він має бути сильніший флуктуацій шуму в системі приймання. Середньоквадратичне значення флуктуацій є:

\Delta T_{sys}=\frac{T_{sys}}{\sqrt{n_pt\Delta f}}

де \Delta f є смуга пропускання приймача, t -- тривалість прийому, а n_p є 1 при прийомі в одній поляризації або 2, якщо у двох. Ця формула називається радіометричним рівнянням і є основою основ більшості радіо-асторономічних розрахунків чутливості систем. Давайте ж виведемо радіометричне рівняння для чутливості приймача до імпульсних сигналів.

Най ми маємо пульс з періодом P, ширині W, та піковій амплітуді T_{peak}, що сидить вище шуму системи T_{sys}. Флуктуації шуму в цьому випадку складаються суми двох частин: коли імпульс є t_{on}=Wt_{int}/P і коли нема t_{off}=(P-W)t_{int}/P:

\Delta T_{int}=\sqrt{ \Delta T_{sys}^2(t=t_{on})+\Delta T_{sys}^2(t=t_{off}) }

Справедливо припускаючи, що T_{peak}\ll T_{sys}, маємо:

\Delta T_{int}=\frac{T_{sys}}{\sqrt{n_pt_{int}\Delta f}}\Big( \frac{P}{\sqrt{W(P-W)}}  \Big)

де t_{int} -- час спостереження.

Хорошо. Тепер за означенням сигнал/шум є S/N=T_{peak}/\Delta T_{int}, тоді

S/N= \sqrt{n_pt_{int}\Delta f}\Big(\frac{T_{peak}}{T_{sys}}\Big)\frac{\sqrt{W(P-W)}}{P}

Якщо тепер повернутись назад до густини потоку, то середнє значення за період буде:

S_{mean}=S_{peak}\frac{W}{P}=\frac{T_{peak}W}{GP}

 S_{mean}= \frac{(S/N)T_{sys}}{G\sqrt{n_p t_{int} \Delta f}}\sqrt{\frac{W}{P-W}}

Цим рівнянням вже можна користуватись. Часом виникає потреба визначити мінімальну густину потоку, що може прийняти радіотелескоп, тоді вводять додатковий корекційний фактор \beta на неідеальність системи

 S_{min}=\beta \frac{(S/N_{min})T_{sys}}{G\sqrt{n_p t_{int} \Delta f}}\sqrt{\frac{W}{P-W}}

Неідеальності виникають через оцифровування сигналу та інші ефекти. Зазвичай \beta трохи більше одиниці.

Отже чим менше S_{min} тим слабші пульсари можна спостерігати. З рівняння також видно, що легше спостерігати пульсари з вузькою шириною імпульсів W, а якість данних буде тим краще, чим більше час спостереження t_{int}, чим ширше смуга пропускання \Delta f приймача. Варто зазначити, що останні два стоять під коренем, тож збільшення часу спостереження в 4 рази, покращить дані лише у 2. Більш ефективно збільшувати підсилення антени G та зменшувати шум T_{sys}.

Високе значення сигнал/шум S/N потрібне для надійного підтвердження прийому сигналу пульсара. Професійні астрономи використовують S/N=8, проте для аматорів вистачить і 4.

Рекомендую почитати Handbook of pulsar astronomy, Lorimer and Framer. Ця стаття є по суті перекладом одного з додатків.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *